Фрактальная размерность

Третьим свойством фракталов является то, что фрактальные объекты имеют размерность, отличную от Евклидовой (иначе говоря, топологическая размерность). Фрактальная размерность, является показателем сложности кривой. Анализируя чередование участков с различной фрактальной размерностью и тем, как на систему воздействуют внешние и внутренние факторы, можно научиться предсказывать поведение системы. И что самое главное, диагностировать и предсказывать нестабильные состояния.

В арсенале современной математики Мандельброт нашел удобную количественную меру неидеальности объектов – извилистости контура, морщинистости поверхности, трещиноватости и пористости объема. Ее предложили два математика – Феликс Хаусдорф (1868- 1942) и Абрам Самойлович Безикович (1891-1970). Ныне она заслуженно носит славные имена своих создателей – размерность Хаусдорфа – Безиковича. Что такое размерность и для чего она нам понадобится применительно к анализу финансовых рынков? До этого нам был известен только один вид размерности – топологическая (рис.3.11). Само слово размерность показывает, сколько измерений имеет объект. Для прямой линии она равна 1, т.е. мы имеем только одно измерение, а именно длину прямой. Для плоскости размерность будет 2, так как мы имеем двухмерное измерение, длина и ширина. Для пространства или объемных объектов, размерность равна 3: длина, ширина и высота.

Давайте рассмотрим пример с компьютерными играми. Если игра сделана в 3D графике, то она пространственна и объемна, если в 2D графике – графика изображается на плоскости (рис.3.10).

Самое необычное (правильнее было бы сказать – непривычное) в размерности Хаусдорфа – Безиковича было то, что она могла принимать не только целые, как топологическая размерность, но и дробные значения. Равная единице для прямой (бесконечной, полубесконечной или для конечного отрезка), размерность Хаусдорфа – Безиковича увеличивается по мере возрастания извилистости, тогда как топологическая размерность упорно игнорирует все изменения, происходящие с линией.

Размерность характеризует усложнение множества (например, прямой). Если это кривая, с топологической размерностью равной 1 (прямая линия), то кривую можно усложнить путем бесконечного числа изгибаний и ветвлений до такой степени, что ее фрактальная размерность приблизится к двум, т.е. заполнит почти всю плоскость (рис.3.12).

Увеличивая свое значение, размерность Хаусдорфа – Безиковича не меняет его скачком, как сделала бы «на ее месте» топологическая размерность, переход с 1 сразу к 2. Размерность Хаусдорфа – Безиковича – и это на первый взгляд может показаться непривычным и удивительным, принимает дробные значения: равная единице для прямой, она становится равной 1,15 для слегка извилистой линии, 1,2 – для более извилистой, 1,5 – для очень извилистой и т.д. (рис.3.13).

Именно для того чтобы особо подчеркнуть способность размерности Хаусдорфа – Безиковича принимать дробные, нецелые, значения, Мандельброт и придумал свой неологизм, назвав ее фрактальной размерностью. Итак, фрактальная размерность (не только Хаусдорфа – Безиковича, но и любая другая) – это размерность, способная принимать не обязательно целые, но и дробные значения.

Для линейных геометрических фракталов, размерность характеризует их самоподобность. Рассмотрим рис.3.17 (а), линия состоит из N=4 отрезков, каждый из которых имеет длину r =1/3. В итоге получаем соотношение:

D = logN/log(1/r)

Совсем дело обстоит иначе, когда мы говорим о мультифракталах (нелинейных объектах). Здесь размерность утрачивает свой смысл как определение подобия объекта и определяется посредством различных обобщений, куда менее естественных, чем уникальная размерность самоподобных линейных фракталов. В мультифракталах в роли показателя размерности выступает значение Н. Более подробно, мы рассмотрим это в главе «Определение цикла на валютном рынке».

Величина фрактальной размерности может служить индикатором, определяющим количество факторов, влияющих на систему. На валютном рынке размерностью можно охарактеризовать волатильность цены. Для каждой валютной пары характерно свое поведение. У пары GBP/USD поведение более импульсивное, нежели чем у EUR/USD. Самое интересное в том, что данные валюты двигаются одинаковой структурой к ценовым уровням, однако, размерность у них разная, что может сказаться на внутридневной торговле и на ускользающих от неопытного взгляда, изменениях в модели.

При фрактальной размерности менее 1.4, на систему влияет одна или несколько сил, двигающих систему в одном направлении. Если размерность около 1.5, то силы, действующие на систему, разнонаправлены, но более или менее компенсируют друг друга. Поведение системы в этом случае является стохастическим и хорошо описывается классическими статистическими методами. Если же фрактальная размерность значительно более 1.6, система становится неустойчивой и готова перейти в новое состояние. Отсюда можно сделать вывод, что чем более сложную структуру мы наблюдаем, тем все более возрастает вероятность мощного движения.

На рис.3.14 показана размерность применительно к математической модели, для того чтобы вы глубже прониклись в значение данного термина. Обратите внимание, что на всех трех рисунках изображен один цикл. На рис.3.14(а) размерность равна 1.2, на рис.3.14(б) размерность равна 1.5, а на рис.3. 14(в) 1.9. Видно, что с увеличением размерности восприятие объекта усложняется, возрастает амплитуда колебаний.

На финансовых рынках размерность находит свое отражение не только в качестве волатильности цены, но и в качестве детализации циклов (волн). Благодаря ей, мы сможем различать принадлежность волны к определенному масштабу времени.

На рис.3.15 изображена пара EUR/USD в дневном масштабе цен. Обратите внимание, четко видно сформировавшийся цикл и начало нового, большего цикла. Перейдя на часовой масштаб и увеличив один из циклов, мы сможем заметить более мелкие циклы, и часть крупного, расположенного в масштабе D1 (рис.3.16). Детализация циклов, т.е. их размерность, позволяет нам определить по начальным условиям, как может в дальнейшем развиваться ситуация. Мы можем сказать, что: фрактальная размерность отражает свойство масштабной инвариантности рассматриваемого множества.

Понятие инвариантности было введено Мандельбротом от слова «scalant» – масштабируемый, т.е. когда объект обладает свойством инвариантности, он имеет различные уровни (масштабы) отображения.

На рисунке кругом «А» выделен мини цикл (детализированная волна), кругом «Б» – волна большего цикла. Благодаря размерности волн, мы всегда сможем определить размер цикла.

Таким образом, можно сказать, что фракталы как модели применяются в том случае, когда реальный объект нельзя представить в виде классических моделей. А это значит, что мы имеем дело с нелинейными связями и недетерминированной (случайной) природой данных. Нелинейность в мировоззренческом смысле означает множество путей развития, наличие выбора из альтернативных путей и определенного темпа эволюции, а также необратимость эволюционных процессов. Нелинейность в математическом смысле означает, определенный вид математических уравнений (нелинейные дифференциальные уравнения), содержащих искомые величины в степенях, больше единицы или коэффициенты, зависящие от свойств среды.

Когда мы применяем классические модели (например, трендовые, регрессионные и т. д.), мы говорим, что будущее объекта однозначно детерминировано, т.е. полностью зависит от начальных условий и поддается четкому прогнозу. Вы самостоятельно можете выполнить одну из таких моделей в Excel. Пример классической модели можно представить в виде постоянно убывающей, либо возрастающей тенденции. И мы можем предсказать ее поведение, зная прошлое объекта (исходные данные для моделирования). А фракталы применяются в том случае, когда объект имеет несколько вариантов развития и состояние системы определяется положением, в котором она находится на данный момент. То есть мы пытаемся смоделировать хаотичное развитие, учитывая начальные условия объекта. Именно такой системой и является межбанковский валютный рынок.

Давайте теперь рассмотрим, как из прямой можно получить то, что мы называем фракталом, с присущими ему свойствами.

На рис.3.17(а) изображена кривая Коха. Возьмем отрезок линии, ее длина = 1, т.е. пока еще топологическая размерность. Теперь мы разделим ее на три части (каждая по 1/3 длины), и удалим среднюю треть. Но мы заменим среднюю треть двумя отрезками (каждый по 1/3 длины), которые можно представить, как две стороны равностороннего треугольника. Это стадия два (b) конструкции изображена на рис.3.17(а). В этой точке мы имеем 4 меньших доли, каждая по 1/3 длины, так что вся длина – 4(1/3) = 4/3. Затем мы повторяем этот процесс для каждой из 4 меньших долей линии. Это – стадия три (c) . Это даст нам 16 еще меньших долей линии, каждая по 1/9 длины. Так что вся длина теперь 16/9 или (4/3)2. В итоге получили дробную размерность. Но не только это отличает образовавшуюся структуру от прямой. Она стала самоподобной и ни в одной ее точке невозможно провести касательную (рис.3.17 (б)).

Содержание

Далее

Слава Україні!

Адмін сайту, який є громадянином України та безвиїзно перебуває в Україні на протязі всього часу повномасштабної російської агресії, зичить щастя та мирного неба всім українським хлопцям та дівчатам! Також він рекомендує українським трейдерам кращих біржових та бінарних брокерів, що мають приємні торгові умови та не співпрацюють з російською федерацією. А саме:

Exness – для доступу до валютного ринку;

RoboForex – для роботи з CFD-контрактами на акції;

Deriv – для опціонної торгівлі.

Ну, і звичайно ж, заборонену в росії компанію Альпарі, через яку Ви маєте можливість долучитися як до валютного ринку, так і до торгівлі акціями та бінарними опціонами (Fix-Contracts). Крім того, Альпарі ще цікава своїми інвестиційними можливостями. Дивіться, наприклад:

рейтинг ПАММ-рахунків;

рейтинг ПАММ-портфелів.

Все буде Україна!