Теория Обучение Литература Статьи Лучшие брокеры Forex

Дополнение к главе 7. Графический очерк. Фрактальная галерея

В случае со столь наглядным предметом, как фракталы, иллюстрации скажут больше, чем слова. Я предлагаю читателям графический очерк о природе и удивительном разнообразии фракталов, искусственных и реальных.

Уже обнаружено буквально сотни реальных фракталов. Фрактальность кажется обязательным инструментов в мастерской Природы; она определяет, как растут живые существа и как разрушаются скалы. Почему? Ответ зависит от контекста. Вновь рассмотрим неровную береговую линию. Физики утверждают, что сложные заливы, мысы, утесы и трещины – это всего лишь логический результат рассеивания энергии волн на скалистой поверхности. В случае роста органических объектов, таких как дыхательные пути в легких, процесс повторяющегося деления выступает логическим следствием генетических правил развития животных: несколько инструкций, исполняемых просто и многократно.

В пьесе Тома Стоппарда Аркадия (1993 год) фрактальная геометрия выходит на авансцену. Главная героиня пьесы, математик Томасина, говорит своему молодому учителю Септиму.

Каждую неделю я по точкам вычерчиваю ваши уравнения. Для всевозможных алгебраических зависимостей я добросовестно нахожу каждому х соответствующий у и каждую неделю получаю все те же избитые геометрические образы, как будто весь мир форм состоит лишь из дуг и углов. Истинная правда, Септим, если существует уравнение для кривой, подобной колоколу, то должно же быть и уравнение для очертания лесного колокольчика? И почему не быть уравнению для розы? Мы правда верим, что природа записана в цифрах?

Септим. Да.

Томасина. Тогда почему ваши уравнения описывают только рукотворные формы?

Септим. Не знаю.

Томасина. С таким набором инструментов Бог не создал бы ничего сложнее шкафа.

На самом деле фрактальные структуры всегда присутствовали и в творениях человека: в узоре готических арок европейских кафедральных соборов, в лейтмотивах опер Вагнера, в вереницах красочных пятен Джексона Поллака и даже в частоте и накале военных сражений за пять столетий европейской истории. Великолепную панораму фракталов можно найти на Web-сайте Йельского университета, который мы упоминали раньше (http://classes.yale.edu/fractals/Panorama/welcome.html) Конечно, ни в одном из перечисленных примеров фрактальную геометрию не применяли осознанно. Но они подтверждают, что эта математическая дисциплина точно описывает некоторые фундаментальные принципы мышления и действий человека: использование иерархии, повторения и изменения масштаба. А после того, как я разработал для фракталов математический аппарат, их начали использовать целенаправленно. Ниже приведен ряд примеров фракталов (рис. 7.1-7.11). Композитор Дьердь Лигети, среди прочих, экспериментировал с фрактальной музыкой. О своем увлечении он рассказал в интервью телеканалу Discovery в 1999 году.

Фракталы – это структуры, проявляющиеся на многих уровнях. Данную концепцию можно применять к любому музыкальному параметру. Когда в моем воображении возникает музыкальная тема, я создаю мелодические фракталы, в которых высота тона используется для определения мелодической формы на нескольких уровнях, в пространстве и времени. Я создаю ритмические фракталы, в которых группа звуков, ассоциирующихся с мотивом, растягивается, сжимается и, может быть, накладывается на другую. Я также использую фракталы громкости, когда характерная громкость звука, его внешняя форма, обнаруживается в различные моменты времени. Даже из формы музыкального произведения я делаю фракталы, и из инструментовки плотности и диапазона звучания и так далее. Только что я рассказал о различных параметрах музыки по отдельности, но в реальном музыкальном произведении они скомбинированы в единое целое, поэтому можно говорить о фрактале фракталов.

Польский математик Вацлав Серпинский столетие назад в числе прочих изучал некоторые необычные формы, причудливые конструкции, в которых бесконечно длинные кривые умещаются в конечных квадратах. Его интерес к этим конструкциям был чисто теоретическим: ему хотелось опровергнуть некоторые привычные, но ложные представления математиков. Обнаружил он эти конструкции случайно, возможно, в декоративных орнаментах. Когда я начал свои независимые исследования фракталов, то тоже наткнулся на этот орнамент. Благодаря мне он стал широко известен; я же дал ему и название – салфетка Серпинского.

Начинается конструкция с базовой формы, инициатора; в данном случае это черный треугольник в верхней левой части рисунка. Ниже изображен генератор, или образующая, – шаблон для построения фрактала. В нашем примере генератор представляет собой исходный треугольник, сначала ужатый вдвое по высоте и ширине, а затем "клонированный" трижды так, чтобы заполнить исходный черный треугольник. Третий рисунок в левом столбце представляет собой инструкцию для построения всей картины. Нужно заменять каждый сплошной треугольник соответствующим образом уменьшенной копией генератора. Если повторять процесс достаточно долго, каждый раз переходя к все меньшему масштабу, получим кружевную и воздушную салфетку Серпинского (правый рисунок).

Фракталы могут иметь любое количество известных измерений – одно, два, даже три. Данный фрактал (изображен в перспективе) начинается почти так же, как салфетка Серпинского. Но вместо треугольников использованы многоярусные тетраэдры или пирамиды. Эйфель в конструкции своей знаменитой башни в Париже расположил стропильные фермы по фрактальной схеме, как бы мы назвали это сегодня. Такая конструкция при наименьшем расходе металла обладает наибольшей прочностью.

Рис. 7.1 и 7.2 иллюстрируют самоподобностъ – свойство, присущее многим простейшим фракталам. На любом уровне каждый элемент диаграммы подобен по форме элементу на более высоком или более низком уровне; все элементы подобны друг другу, потому что имеют одну и ту же, без деформаций, форму, а отличаются только размерами. Однако в финансах требуются фракталы другого класса, так называемые самоаффинные (родственные себе) – у них изменение по горизонтали происходит быстрее, чем по вертикали. В более общем случае части фракталов могут систематически поворачиваться, изгибаться или испытывать другие деформации.

Это один из самых старых фракталов, названный по имени Георга Кантора, русско-немецкого ученого XIX столетия, в корне изменившего представления математиков о бесконечности, группах и многих других основных идеях, которые прежде считались само собой разумеющимися. Пыль Кантора – один из его типичных парадоксов. Этот фрактал начинается с простой линии: прямой, сплошной и одномерной (на рисунке для удобства линия изображена в виде толстой полосы, однако мы считаем ее одномерной). Генератором выступает такая же линия, в которой удалена средняя треть. Правило: заменять постоянно уменьшающиеся отрезки генератором. Если процесс продолжать бесконечно, то придем к совершенно неожиданному результату. Нигде не останется ни малейшего отрезка исходной линии. Мы получим всего лишь россыпь неравноудаленных друг от друга точек. Я называю этот процесс фрактальным створаживанием, поскольку он напоминает разделение цельного молока на комочки творога и сыворотку.

Кантор полагал, что удаляется от Природы, но, она, кажется, благоволит к его конструкциям. Кольца Сатурна – это набор концентрических и пропускающих солнечный свет овалов, очень близких к идеальной окружности. Они расположены на неравных расстояниях друг от друга, как будто конструкцией "пыль Кантора", как гребнем со сломанными зубьями, провели по широкой окружности с центром в ядре Сатурна. Пыль с этого гребня осыпалась и заполнила образовавшиеся борозды. Еще пример. На Земле ученые обнаружили, что спектр (или энергетические "отпечатки пальцев" некоторых органических химикатов) напоминает "пыль Кантора".

В 1905 году шведский математик Хельга фон Кох описала конструкцию, напоминающую снежинку симметричной формы с зазубренными краями. Как и в случаях с пылью Кантора и салфеткой Серпинского, фон Кох хотела поставить под сомнение общепринятые математические понятия. Контурная линия этой снежинки поистине чудовищна: она сплошная, но в то же время бесконечной длины; на всем ее протяжении не существует ни единой точки, через которую можно было бы провести касательную. Такая математическая анархия раздражала многих современников фон Кох, продолжавших верить в идеалы непрерывности и порядка. Французский математик Шарль Эрмит в 1893 году писал, что он "в страхе и ужасе отворачивается от этих чумных функций, не имеющих производных".

Собственно кривая фон Кох – это одна треть снежинки. Подобно пыли Кантора, кривая фон Кох начинается с прямой линии, которая на нашем рисунке выступает горизонтальной стороной верхнего черного треугольника. Но теперь мы не удаляем среднюю треть, а поднимаем ее вверх, образуя треугольный навес над серединой линии. Как видно из последующих рисунков, мы каждый раз заменяем все более короткие отрезки ломаной линии все меньшими версиями треугольного навеса (генератора). И вскоре возникает парадокс. При каждом повторении процесса появляется все больше навесов, из-за чего короткая прямая линия превращается в ломаную кривую, длиннее оригинала в соотношении 4/3. Длина этой кривой растет все больше и больше.

Измерение является одной из самых значительных концепций фрактальной геометрии. Это количественная мера "неровности" объекта. Нам известно одно измерение прямой линии, два измерения плоскости, но что же собой представляет дробное измерение, промежуточное между двумя названными?

Попробуем измерить длину кривой фон Кох (верхнее изображение). Начнем с линейки длиной в одну треть ширины объекта. Она умещается внутри кривой фон Кох четыре раза (получилась четырехзвенная ломаная линия на верхнем изображении). Теперь укорачиваем нашу линейку на одну треть (нижнее изображение). Поскольку теперь линейка может уместиться в ранее недоступных углублениях кривой фон Кох (как видно, получилась 16-звенная ломаная), длина кривой оказывается больше предыдущего значения, причем в 4/3 раза. Продолжим укорачивать линейку и измерять ею длину кривой фон Кох. На каждом шаге измеренная длина оказывается в 4/3 раза больше предыдущего значения. Фрактальное измерение определяем как отношение логарифма 4 к логарифму 3 (log4/log3), что равно 1,2618... Интуитивно мы понимаем, что такое число имеет смысл. Кривая извилиста, поэтому она заполняет больше пространства, чем одномерная прямая линия, но в то же время она не заполняет полностью двумерную плоскость. Поэтому фрактальное измерение больше 1, но меньше 2.

До сих пор все фракталы в галерее были правильными; это значит, что если мы знаем правило построения фракталов, то получаются точно воспроизводящие сами себя конструкции, а результат процесса предсказуем. Однако такие конструкции можно рассматривать лишь как аперитив перед основным блюдом. Поэтому я предпочитаю называть их карикатурами. Мы усложним процесс, если добавим к нему элемент случайности; теперь полученные конструкции будут больше походить на творения Природы, чем на дело рук человеческих.

Верхнее изображение – это уже знакомая нам кривая Коха, но с элементом случайности. Начинается она с тех же инициатора и генератора, что и прежде. Но если при построении макетной кривой всё меньшие генераторы на каждом шаге встраивались одним и тем же образом (в виде навеса над средней частью отрезка), то теперь мы бросанием монеты определяем, куда будет направлен наш навес – вверх или вниз (как "подвал" под средней частью отрезка). Результат выглядит неправильнее, но зато естественнее. На самом деле, кривая Коха теперь похожа на береговую линию. Нижняя диаграмма, при построении которой использовался более сложный компьютерный фрактальный процесс, уже поразительно похожа на природный объект – на фрагмент реальной морской карты.

Эти диаграммы иллюстрируют еще одну сторону случайности. Нерешенной задачей космологии до сих пор остается полное описание и объяснение беспорядочного распределения звезд и галактик в пространстве. Конечно, известно, что звезды, как и галактики, объединяются в группы под действием силы гравитации. Но почему они сегодня занимают в космосе именно эти места, неизвестно. Я предложил фрактальный сценарий. Первым изображен случайный фрактал, полученный по методу фрактального створаживания. Следует начать с большого квадрата, затем разделить его на 125 меньших квадратов, а из них случайным образом выбрать некоторое количество, которое надлежит затемнить. После множества итераций (повторений процесса) получим россыпь черных точек (второе изображение), которая напоминает астроному изображение кластеров галактик.

Если иметь только второе изображение, то сразу и не обнаружишь, что это результат фрактального рекуррентного процесса. Однако с помощью компьютерного анализа это удалось бы. Такова сила совместной работы фракталов и случая: простые правила приводят к сложным конструкциям, а сложные конструкции указывают на простые правила.

Облака и растение. Добавив случайные процессы, мы начинаем замечать "руку Природы". Фрактал на верхнем изображении создан компьютером: это абсолютно искусственное облачное небо, которое, тем не менее, не отличишь от настоящего. Нижнее изображение демонстрирует фрактальный рост, начавшийся с "семени" в центре. В ходе случайного фрактального процесса к семени на каждом шаге добавляются новые частицы; структуры, похожие на усики и ветки, постепенно образуют структуру, названную диффузионно-ограниченной совокупностью (английская аббревиатура – DLA) – один из самых удивительных, повсеместных и сложных объектов статистической физики.

Первой изображена созданная компьютером фрактальная карикатура. В качестве генератора использована неправильная ветвящаяся структура. Ниже (Weibel 1963) – естественный прототип искусственного фрактала, а именно сложное ветвление бронхов человека. В процессе развития человеческого зародыша легкие формируются поэтапно: бронхиальные трубы разветвляются; эти ветви снова разветвляются; и так далее от крупных труб до самых мелких – всего приблизительно двадцать с лишним уровней, что подтверждается анатомическими исследованиями. Результатом внутриутробного развития становится фрактальная объемная губка легочной ткани, изогнутые, ветвящиеся дыхательные пути которой поставляют кислород в точно отмеренном количестве и с необходимой скоростью к миллионам крошечных воздушных полостей.

Экономика, антропология, история, музыковедение, архитектура – список социальных и гуманитарных наук, в которых обнаружились фракталы, достаточно длинный. На фотографии, хранящейся в архивах Американского географического института, изображен вид с воздуха поселений на юге Замбии. Это огороженное место для домашнего скота. Оградой служат жилища, расположенные вплотную друг к другу и образующие кольцо. Чем больше жилище, тем более высокое положение в племени занимает данная семья; в центре находится дом вождя. А в каждом жилище имеется домашний алтарь. Взятые из Eglash 1999 диаграммы наглядно подтверждают, что африканская деревня организована по фрактальной иерархии.

В заключение нашего графического очерка приведем, пожалуй, самый известный пример. Это математическая химера, которую мои коллеги назвали моим именем. С тех пор, как я открыл ее более 20 лет назад, она стала предметом бессчетного количества математических исследований. Ее воспроизвели на миллионах теннисок, открыток, книжных суперобложек и экранных заставок персональных компьютеров. Читателей, желающих больше узнать об этом фрактале, я отсылаю к моей книге Mandelbrot 2004a.

Множество Мандельброта иллюстрирует глубокие связи между фрактальной геометрией и теорией хаоса. Здесь использована крайне простая математическая петля обратной связи, дающая, тем не менее, удивительно разнообразные и сложные результаты. Рассматривая любой элемент этого фрактала с большим увеличением, как будто под микроскопом, убеждаемся, что, вопреки ожиданиям, мы не переходим к более простой структуре. При каждом уровне увеличения " нормальные фракталы" остаются одинаково сложными. Но фракталы множества Мандельброта усложняются безгранично. Благодаря ошеломляющей комбинации простого и сложного множество Мандельброта стало математическим Эверестом, а два математика, так и не взошедшие на вершину, но поднявшиеся достаточно высоко по одному из ее склонов, получили за свои старания медали Филдса, которые иногда называют математическим эквивалентом Нобелевской премии.

Содержание Далее 


По нашей оценке, на 20.10.2018 г. лучшими брокерами являются:

• для торговли валютамиNPBFX;

• для торговли бинарными опционамиBinomo;

• для инвестирования в ПАММы и др. инструменты – Альпари;

• для торговли акциямиRoboForex Stocks (более 8700 инструментов – на счете R Trader).



Лучшие
брокеры:
        Альпари           Exness           Binomo
Кнопочка ТИЦ      Брокер «Альпари»      Брокер «Exness»      Брокер «Binomo»

Яндекс.Метрика