Теория Обучение Литература Статьи Лучшие брокеры Forex

Измерение неровности

Возможно, самой поразительной идеей фрактальной геометрии выступает необычный взгляд на измерения. Со времен Эвклида воображаемая математическая точка не имела размеров, у линии было одно измерение, у плоскости – два, а у знакомого нам пространства, в котором мы живем, – три измерения. Эйнштейн добавил четвертое измерение – время. Правда, математики могут обобщить эту идею и вообразить измерения более высоких порядков; они чисто вымышленные, но с их помощью удается решать определенные задачи в технике, экономике, физике. Топология – область математики, занятая изучением поверхностей, – подсказывает нам новые интересные идеи. С топологической точки зрения огурец по форме идентичен апельсину, потому что из первого можно получить второй, не разрезая поверхность; окружность, как и зазубренная береговая линия на морской карте, имеет одно измерение – ведь обе представляют собой непрерывные линии, которые можно преобразовывать друг в друга, не разрезая, а всего лишь сгибая, складывая или распрямляя.

Но только ли это можно сказать о таком понятии, как измерение? Обратимся к примеру. Сначала рассмотрим клубок шерстяных ниток с идеализированной точки зрения Евклида. Клубок 12 см в диаметре, а толщина нитки составляет, скажем, меньше миллиметра. С очень далекого расстояния мы вряд ли разглядим, что имеем дело с клубком: он будет нам казаться точкой – не имеющей размеров, как утверждает классическая геометрия. Взяв клубок в руку, мы увидим привычный трехмерный шар. Поднеся его близко к глазам, поймем, что это всего лишь спутанная одномерная нить. При еще большем увеличении мы заметим, как наша одномерная нить "превращается" в трехмерные пряди. Вооружившись электронным микроскопом, позволяющим рассматривать вещество на атомном уровне, опять возвращаемся к точкам с нулевым размером. Так что же из себя представляет наш клубок ниток? Это объект, лишенный размеров, или одномерный, или трехмерный? Ответ зависит от точки зрения. Для сложной природной формы размер – понятие относительное. Он меняется для разных наблюдателей. Один и тот же предмет может иметь более одного измерения, в зависимости от того, как вы его измеряете и что вы с ним собираетесь делать. Причем измерение не обязательно целочисленное; оно может быть и дробным. Сегодня устаревшее понятие, размер, радикально осовременивается. Подумаем о размерах не как о внутренне присущем предметам свойстве, а лишь как об измерительном инструменте. Вспомним, как мы вообще выполняем измерения. Если надо измерить прямую линию, мы пользуемся линейкой. Для измерения кривой линии придется взять меньшую линейку, например длиной в один сантиметр, и пройтись вдоль кривой линии, подсчитав, сколько раз наша линейка умещается на всем протяжении кривой. Проявив больше усердия и взяв еще меньшую линейку, получим более точный результат: кривая линия в этот раз окажется длиннее, чем в случае грубого измерения сантиметровой линейкой. Используя каждый раз все меньшую линейку, мы в конце концов придем к какому-то определенному значению, которое и будем считать длиной нашей кривой линии. Но если кривая зазубрена и неравномерна? Если речь идет о береговой линии Шотландии? В таком случае мы для начала вооружимся геодезическим дальномером – "большой линейкой" – и будем замерять расстояние между мысами. Затем возьмем более точный инструмент, измерительную рулетку, и пройдем вдоль берега от точки к точке. Далее, по очереди, метровая планка, кронциркуль и микроскоп. Правда, в данном случае все наши усилия тщетны: в отличие от случая с гладкой кривой линией, нам никогда не удастся узнать единственную "наилучшую" оценку длины скалистой береговой линии. Она зависит от масштаба карты, которую нам предстоит начертить, да и от политических мотивов тоже. Один ученый Льюис Фрай Ричардсон, который исследовал этот парадокс более века назад, изучил официальные данные о протяженности политических границ между государствами. Испанские власти считали, что длина их границы с Португалией равна 987 км, тогда как отважные португальцы насчитали 1214 км. Нидерланды решили, что их граница с меньшей и более бедной Бельгией равна 380 км, тогда как бельгийцы заявили о 449 км.

Так какова же длина? Мы убедились, что это бесполезный вопрос. Однако можно подойти к решению этой задачи с другого конца. Например, откладывать на графике результат измерения с помощью каждого нового инструмента. Чем меньше (точнее) становится "линейка", тем большее число мы получим. Но – вот приятная неожиданность! – часто измеряемая величина увеличивается с почти постоянной скоростью. Рассмотрим простейший пример – прямую линию, вернее, прямой отрезок. Допустим, нам повезло, и первая взятая нами линейка имеет точно такую же длину, как измеряемый прямой отрезок. Теперь возьмем линейку вдвое короче первой; она уложится в наш отрезок дважды. Следующая линейка, вдвое короче предыдущей, уложится в отрезок четыре раза. Надеюсь, читатели уже поняли суть процесса. Теперь рассмотрим неровную береговую линию. Используя каждый раз все меньшую линейку, мы обнаруживаем нечто необычное: результат измерения растет быстрее, чем укорачивается линейка. Это явление измеряется величиной, получившей название фрактальное измерение. Начнем с простого. Для прямой линии фрактальное измерение равно 1. Это ожидаемая величина, ведь мы все знаем, что прямая линия – одномерна. Но, оказывается, английская береговая линия имеет фрактальное измерение, приблизительно равное 1,25. Есть ли в этом смысл? Конечно. Неровный берег сложнее одномерной прямой линии, но, несмотря на многочисленные утесы и заливы, очертания берега не столь сильно изогнуты, чтобы заполнить двумерный квадрат.

И это еще не все. Австралийская береговая линия, более ровная, чем корнуоллская, имеет фрактальное измерение 1,13, а ровный берег Южной Африки лишь немного извилистее, чем геометрическая прямая линия: фрактальное измерение этой береговой линии равно 1,02. Перейдем от берегов к рекам. Геологическое управление США при исследовании крупных рек обнаружило, что на востоке страны они, как правило, имеют фрактальное измерение 1,2, а на более "диком" западе – 1,4. Эти цифры подтверждают наши интуитивные оценки бурной реки Колорадо и мирно несущей свои воды реки Чарлз. Еще примеры. Если измерить площадь чрезвычайно запутанной внутренней поверхности человеческих легких, пронизанных разветвленной сетью бронхов, то получим огромную цифру, приблизительно равную площади теннисного корта. Однако фрактальное измерение очень близко к 3. Внутренняя поверхность легких столь извилиста и складчата, что имеет уже почти объемную (трехмерную) структуру.

Итак, что же мы получили? Новый инструмент измерения. Мы измеряем не то, насколько объект длинный, тяжелый, горячий или громкий, а насколько он извилистый и неровный. Наука получила свой первый критерий неровности.

Содержание Далее 


Для беспроблемного трейдинга рекомендую брокера Forex4you – здесь разрешен скальпинг, любые советники и стратегии; также можно иметь дело с Альпари; для инвесторов – однозначно Альпари с его множеством инвестиционных возможностей. – примеч. главного админа (актуально на 17.06.2018 г.).



Лучшие
брокеры:
        Альпари           Exness           Binomo
Кнопочка ТИЦ      Брокер «Альпари»      Брокер «Exness»      Брокер «Binomo»

Яндекс.Метрика