Теория Обучение Литература Статьи Лучшие брокеры Forex

Правила неровности

В прошлом ученые добросовестно старались рассматривать неправильности природы как мелкие дефекты идеализированной формы – например, как нежный пушок на в остальном идеально гладкой поверхности персика, или как небольшие углубления или выпуклости на в остальном идеально сферическом апельсине. Такое же предположение сделали два столетия назад Гаусс и Лежандр, когда разработали метод наименьших квадратов для расчета "истинной" эллиптической орбиты астероидов ни основе смешанных неточных данных, полученных с помощью телескопа. Как только стали известны математические инструменты, подобные методу наименьших квадратов, другие ученые сочли для себя возможным "ничтоже сумняшеся" взять их на вооружение. Например, металлурги измеряют шероховатость поверхности или характеристики разрушения металла с помощью все того же метода наименьших квадратов даже несмотря на то, что с удивлением обнаружили: при измерении разных частей одного и того же металлического образца они получают разные показатели шероховатости. Аналогичное происходит и в финансах: "неровность" ценовой диаграммы общепринято измерять неустойчивостью (волатильностью), однако сами эта характеристика – неустойчивость, – как обнаружили аналитики неустойчива. Мой вклад, в первую очередь, состоит в признании того факта, что в турбулентности и еще больше в реальном мире неровность – это не просто мелкие дефекты идеала, не просто мелкие детали глобального плана. Неровность относится к самой сути многих природных явлений, в том числе экономических.

Говоря конкретнее, я разработал специальную геометрию для неровности. Это математический аппарат, с помощью которого уже сегодня можно понять подлинную, отличную от пушка на персике, неупорядоченность, а со временем научиться ею управлять. Основная идея заключается в том, чтобы обнаружить порядок в беспорядочном, форму в бесформенном. Вопреки популярному мнению, математика призвана облегчать, а не усложнять нашу жизнь. Ребенок узнает, что, отсчитывая конфеты по одной, можно угостить всех друзей конфетами, никого не обделив; так проявляется способность к количественному мышлению. Далее он переходит к более абстрактному действию – делению пакета конфет на несколько равных частей, – а это уже арифметика. Затем ребенок учится рассчитывать необходимое количество какао и сахара, чтобы приготовить шоколад для пятнадцати друзей, и при этом пользуется алгеброй. Таким образом, математика решает всевозможные задачи, от простейших до самых сложных. Ускорить процесс можно, если обнаружить симметрию или инвариантность – фундаментальные свойства, одинаковые у разных объектов исследования.

Фрактал обладает особым видом инвариантности или симметрии, особой связью между целым и его частями: целое можно разбить на меньшие части, но каждая будет его повторением. Вспомним цветную капусту: каждый кочешок можно разделить на части, которые представляют собой всю капусту в миниатюре. Художники, привыкшие пристально наблюдать за природой, узнали об этом, не дожидаясь подсказки ученых. Эжен Делакруа отмечал в статье, написанной для Le Revue Britannique.

Сведенборг в своей теории природы говорит нам, что легкие сделаны из множества маленьких легких, печень – из малых печеней, селезенка – из малых селезенок и т.д. Не будучи столь искусным наблюдателем, как он, я тоже заметил это, и уже давно; я часто говорил, что ветви дерева – это сами по себе малые деревья, что камни подобны большим камням, а пригоршня грязи – гораздо большим кучам грязи. Я убежден, что можно найти намного больше таких примеров. Одно перо сделано из миллиона перьев.

Задачи фрактальной геометрии включают поиск повторяющихся структур такого рода, их анализ и количественную оценку, манипулирования ими. Она выступает как инструмент и анализа, и синтеза. Искомая структура может принимать множество различных форм. В частности, это может быть конкретная форма, которая повторяется в меньшем масштабе, как в случае папоротника или цветной капусты. Или абстрактная, статистическая структура – например, вероятность того, что определенная ячейка решетки будет черного или белого цвета или что в определенной точке космоса обнаружится звезда или вакуум. Структура может повторяться в сторону увеличения или уменьшения, шаблон накладывается или поворачивается (или обе операции выполняются одновременно). Повторение следует точному, детерминистическому правилу либо воле слепого случая.

Построение простейших фракталов начинается с какого-нибудь классического геометрического объекта: треугольника, прямой линии, шара. Он называется инициатором. В финансовой карикатуре модели Башелье, рассмотренной в предыдущей главе, инициатором была прямая восходящая линия тренда. Затем в процесс включается генератор, или образующая, тот шаблон, по которому продолжится построение фрактала. Обычно это тоже простая геометрическая структура: ломаная (зигзагообразная) линия, извивающаяся кривая или – на финансовых диаграммах – последовательность ценовых скачков: 2 долл. вверх на прошлой неделе, 37 центов вниз сегодня и 1,5 долл. вверх в следующем месяце. Наступает очередь правила рекурса определяющего процесс построения фрактала. Вспомним, как мы строили финансовую карикатуру Башелье. Начали с прямой линии (инициатора), накладывали (но без поворота) ломаную образующую на все прямые участки так, чтобы ее концы совпадали с концами инициатора, и повторяли эти шаги бесконечно. Как только на диаграмме появлялся прямой участок, мы заполняли его уменьшенной до нужного размера ломаной образующей. Правила построения таких фракталов точно сформулированы, а результат предсказуем, хотя он может оказаться достаточно сложным, если процесс построения повторять достаточно долго. В этом примере простая ломаная линия в итоге трансформировалась в зазубренную кривую, которая неожиданно стала похожей на многие структуры, встречающиеся в природе, например на профиль горной цепи. В действительности моя работа убедила компьютерных аниматоров, что такие фрактальные процессы позволяют быстрее всего и самым реалистичным образом создавать искусственные ландшафты и лунные пейзажи.

Фракталы становятся еще интереснее, если разнообразить процесс построения. Например, случайным образом менять местами прямые звенья генератора. Или перейти от построения структур на бумаге к фракталам, полученным на основе абстрактных концепций. Рассмотрим социологию. Ритм периодов войны и мира, неравномерное распределение материальных благ в обществе, доминирование в промышленности крупных компаний – все это можно анализировать как беспорядочные фрактальные конструкции, в которых порядка оказывается больше, чем предполагалось раньше. Разнообразие фракталов огромно. Но все они имеют несколько общих характеристик. Во-первых, они самоповторяются в сторону увеличения или уменьшения на определенную величину. Другими словами, части повторяют целое в соответствии с точной, измеримой формулой.

Простейшие фракталы "развиваются" одинаково во всех направлениях, поэтому их называют самоподобными. Это, образно говоря, высококачественные линзы, одинаково расширяющие или сжимающие все, попадающее в окуляр. Состав изображения (предметы, которые мы видим) не зависит от фокусного расстояния; пропорционально меняются только размеры изображения. Однако карикатура Башелье "растет" в разных направлениях неравномерно, и это же мы будем наблюдать в других карикатурах ценовых колебаний, которые рассмотрим в следующих главах. Такие фракталы называются самоаффинными (родственными себе). Здесь можно предложить сравнение с ксероксом, настроенным на создание уменьшенной копии оригинала, но не пропорционально, а, например, сжимая оригинал в горизонтальном направлении больше, чем в вертикальном. Если фракталы повторяются по-разному и в разных точках, то они становятся мультифракталами, математические свойства которых запутанны и открывают много возможностей. Математика фракталов в ее полном виде действительно сложна, если углубляться в детали. Однако в более обобщенном, упрощенном виде она уже включена в программу некоторых базовых курсов математики для старшеклассников. Фракталы чрезвычайно наглядны и потому весьма интуитивны.

Порой фракталы выглядят случайными, бессистемными. Часто они противоречат общепринятой геометрии и не поддаются классификации. Обычно фракталы скорее беспорядочны, чем гармоничны и предсказуемы, как параболы и окружности древних геометров. Но вот важное замечание: все фракталы начинаются просто, можно даже сказать – упрощенно. И это отрадный факт. Для любого научного исследования желательно, чтобы на первых этапах оно было как можно проще, иначе никогда не удастся добраться до сложного. Каждый фрактал – это логическое выражение нескольких простых и понятных идей, правил или математических зависимостей. В описанных здесь простых фракталах инициатор, генератор и правило построения составляют трехбуквенный код; это очень похоже на четыре буквы генетического алфавита. Фрактальный код подобен ДНК: из этого компактного описания информации получаются прекрасные и сложные "создания" – порой столь сложные, что лучшие математические умы нашего мира не в силах их разгадать.

Отдаленные истоки этой научной области разнообразны. Первые странности были замечены в 1875-1925 годах, в период неразберихи и анархии в математике. Их считали парадоксами: линия, которая могла полностью заполнить квадрат, создавала впечатление, что одно измерение может заполнить два; до смешного простой процесс превращения сплошной линии в пыль из лишенных размеров точек; неправильная, хотя и непрерывная кривая, к которой нигде невозможно провести касательную. Это были фантазии, специально придуманные для демонстрации логических несовместимостей в традиционной математике. Сначала их отвергали, называя причудами, созданными для того, чтобы подшутить над патриархами математики. Но я многократно увеличил разнообразие таких отдельных примеров. Я свел их воедино, в одну область математики, развил ее, дал ей название и начал применять в окружающем нас мире, как природном, так и рукотворном. Благодаря этой новой области математики многие ученые начали думать о нашем мире по-другому. И все же я должен признать, что пальма первенства принадлежит не мне и даже не другим ученым, а поэтам.

Джонатан Свифт в своем стихотворении "О поэзии: рапсодия" писал о блохе, на которой паразитируют другие, меньшие блохи, на которых, в свою очередь, "пасутся" еще меньшие блохи, и так до бесконечности.

Содержание Далее 


Для беспроблемного трейдинга рекомендую брокера Forex4you – здесь разрешен скальпинг, любые советники и стратегии; также можно иметь дело с Альпари; для инвесторов – однозначно Альпари с его множеством инвестиционных возможностей. – примеч. главного админа (актуально на 17.06.2018 г.).



Лучшие
брокеры:
        Альпари           Exness           Binomo
Кнопочка ТИЦ      Брокер «Альпари»      Брокер «Exness»      Брокер «Binomo»

Яндекс.Метрика