Теория Обучение Литература Статьи Лучшие брокеры Forex

"Мягкая" форма случайности

Простейший тип случайности, выраженный кривой Гаусса, впервые оказался в центре внимания два столетия назад. С самого начала ее теория была влиятельной и одновременно противоречивой. Ее открытие породило споры об авторстве (о которых часто говорят, но я считаю не лишним еще раз напомнить о них) между особо выдающимся математиком Адриеном Мари Лежандром и одним из величайших ученых всех времен Карлом Фридрихом Гауссом.

В начале XIX века вычисление астрономических орбит было на переднем крае математических исследований. Усовершенствованные телескопы обеспечили ученых новыми данными о небесах, а сформулированный Ньютоном закон всемирного тяготения стал средством интерпретации этих данных. Но, как было известно со времен датского астронома Тихо Браге, жившего в конце XVI века, телескопические наблюдения могут сопровождаться грубейшими ошибками. Одна из них – систематическая, обусловленная недостатками приборов: неидеально отшлифованные линзы, неровно установленный телескоп. Ошибку такого вида можно объяснить, измерить и компенсировать. Однако была и случайная ошибка, неконтролируемая, к которой приводили изменчивые атмосферные условия, колебания земной поверхности, нетрезвые ассистенты. Неконтролируемая ошибка существенно осложняла расчеты орбиты обнаруженной кометы или планеты.

Подобно большинству великих математиков, живших в сравнительно недавно закончившуюся эпоху универсальности, Лежандр и Гаусс отличались широкими профессиональными интересами. Так, Лежандр в Париже по-новому изложил знаменитые принципы геометрии Евклида, предложив стандарт в этой области, написал первый полный трактат по теории чисел, а в эпоху Наполеона участвовал в создании точной карты Франции. Гаусс в северном немецком герцогстве Ганновер (правитель которого впоследствии взошел на гораздо более богатый престол в Лондоне) был сыном простого чернорабочего, но также вундеркиндом, научившимся считать раньше, чем говорить; свое первое знаменитое математическое доказательство, в области геометрии, он представил в 18-летнем возрасте. Он усовершенствовал почти каждую область, которой касался: простые числа, алгебраические функции, бесконечные ряды, теория вероятностей, топология. Вместе с коллегой сконструировал первый электрический телеграф. Подобно Лежандру активно занимался картографией. Имея лишь скудные исходные данные, рассчитал орбиты нескольких открытых малых планет. Вычисления он производил с удивительной быстротой: определил и проверил орбиту астероида Веста за десять часов, на что менее одаренному человеку потребовалось бы несколько дней напряженных расчетов с построением таблиц, перепроверкой и поиском ошибок.

Столкновение двух ученых произошло в сфере астрономии. В 1806 году Лежандр опубликовал трактат о расчете орбит, в котором имелось дополнение, названное "О методе наименьших квадратов". В нем говорилось об общей проблеме: как найти "истинное" значение орбиты или любого другого природного явления, имея совокупность наблюдений, не лишенную ошибок. Лежандр предложил простой метод. Сделать предположение об истинном значении и рассчитать, насколько удалено от него каждое наблюдение, т.е. рассчитать ошибку. Затем возвести каждую ошибку в квадрат и просуммировать полученные числа. Вновь предположить истинное значение и проверить, не уменьшилась ли новая сумма квадратов ошибок. Повторять процесс вновь и вновь. Оценка по методу наименьших квадратов позволяет определить ошибки, дающие наименьшую сумму квадратов, и, таким образом, значение, максимально близкое ко всем наблюдениям. Это был эффективный метод, немедленно нашедший признание как удобный и даже сегодня пригодный для регулярного использования в различных физических исследованиях, начиная с астрономии и заканчивая биологией. Однако Гаусс спустя три года после появления трактата Лежандра описал подобный метод, не упомянув работу француза. Лежандр высказал свой протест, но немедленной реакции Гаусса не последовало, поскольку немец никогда не любил тратить время на ссоры с другими математиками. Прямого ответа от него научная общественность так и не получила, однако Гаусс заверил коллег, что придумал этот метод еще в восемнадцатилетнем возрасте и неоднократно использовал его в своих астрономических вычислениях. Примирить математиков попытался Лаплас, но безуспешно. В конце концов, авторство открытия присудили обоим математикам. Доказательство приоритета Гаусса, найденное позднее в его объемных записных книжках, несколько спорно, но несомненно, что немецкий математик видел в ставшем яблоком раздора методе более глубокий смысл, чем Лежандр.

Вернемся к эксперименту с монетой. Допустим, что Гарри или Том ведут записи отклонений от ожидаемого среднего значения – от нуля (в итоге они получат диаграмму, подобную приведенной на рис. 2.1 диаграмме Феллера). По примеру тенниса разделим всю игру на "сеты", состоящие из миллиона бросков, и запишем, сколько Гарри выиграл в первом сете, во втором и т.д. Размер выигрыша в отдельных сетах будет, конечно же, значительно колебаться. В частности, нередко выигрыш окажется близким к нулю. Но, как утверждает теория, чаще в сете будет выигрывать один из братьев, как правило, на тысячу очков, т.е. бросков. И в совсем редких случаях получим намного, намного большую "ошибку", или отклонение от ожидаемого среднего значения. Если бы братья затем изобразили результаты своей игры графически в виде так называемой "гистограммы", состоящей из примыкающих друг к другу вертикальных прямоугольников разной высоты, соответствующей количеству раз, когда встречалось отдельное значение, то мы получили бы знакомую структуру (рис. 2.2). Многочисленные небольшие выигрыши сгруппированы вокруг ожидаемого среднего значения – нуля (высокого центрального прямоугольника). Редкие крупные выигрыши находятся по краям гистограммы. Соединив непрерывной линией середины прямоугольников, получим уже известную нам кривую Гаусса, имеющую форму колокола.

Если изучить кривую Гаусса, обнаружатся удивительные факты. Во-первых, предположим, что одновременно проходит несколько игр: Гарри и Том подбрасывают монету, их двоюродные братья бросают кости, а друзья сдают карты. Участники каждой игры рассчитывают получить свой, отличный от двух других игр, средний результат; но во всех трех случаях графическое представление того, как выигрыш в сете отличается от среднего значения, имеет все ту же общую колоколообразную форму. Правда, некоторые "колокола" окажутся приземистее, другие – уже. Однако все описываются одной и той же математической формулой, а различия между ними определяются всего двумя числами: средней ошибкой и дисперсией (или стандартным отклонением), условным критерием ширины колокола.

Многие физические явления подчиняются более сложным законам, тем не менее удобно иметь одну формулу, полученную эмпирическим путем, которая включает два числа в качестве параметров. Например, обычный коэффициент интеллектуального развития (IQ) намеренно разработан таким образом, чтобы его результаты образовали кривую Гаусса. Средний IQ по определению равен 100 баллам, соответствующим центру "колокола". Практически 68% населения имеют IQ в пределах одного десятибалльного стандартного отклонения (которое принято называть греческой буквой сигма, а) от среднего значения, т.е. попадают в диапазон от 90 до 110 баллов. Приблизительно 95% находятся в пределах двух стандартных отклонений от среднего, т.е. между 80 и 120 баллами, а три стандартных отклонения охватывают 98% населения. С ростом сигмы шанс попасть внутрь "колокола" быстро приближается к 100%, тогда как шанс оказаться за его пределами – быть "выбросом", как говорят статистики, – приближается к нулю; для оценки этих шансов существует уравнение. Но мы рассказали не обо всех возможностях нормального распределения. Если наносить на график значение IQ каждого отдельного человека в стране, а не всего населения, то мы опять-таки получим кривую Гаусса. Еще один вывод: если экзаменационные оценки по языку и математике независимы друг от друга, а распределение обеих переменных описывается кривой Гаусса, то и сумма оценок тоже распределена нормально. Конечно, комбинированная средняя оценка и ее разброс изменятся, но основные характеристики кривой останутся прежними.

Короче говоря, нормальная кривая неуничтожима. Она – продукт математической алхимии. К ней неизбежно придешь, если скомбинировать множество небольших изменений, если каждое из них независимо от предыдущего и если каждое незначительно в сравнении с их суммой. Ни один отдельный человек не оказывает большого влияния на общую кривую IQ, и ни один отдельный бросок не имеет большого значения для общей игры Гарри или Тома. Однако в совокупности, за какой-то длительный период времени или в случае, если рассматривать большое количество населения, результаты меняются правильно и предсказуемо. Отдельные точки (отдельные данные) – это песчинки, образующие береговую линию, травинки газона или электроны, движущиеся по медному проводу.

Содержание Далее 


По нашей оценке, на 17.08.2018 г. лучшими брокерами являются:

• для самостоятельной торговлиNPBFX;

• для инвестицийАльпари;

• для бинарных опционовBinomo;

• для торговли акциямиRoboForex Stocks (на счете R Trader доступно более 8700 торговых инструментов).



Лучшие
брокеры:
        Альпари           Exness           Binomo
Кнопочка ТИЦ      Брокер «Альпари»      Брокер «Exness»      Брокер «Binomo»

Яндекс.Метрика