Теория Обучение Литература Статьи Лучшие брокеры Forex

Золотое сечение и множество Мандельброта

Золотое сечение имеет большое значение для нашего восприятия мира, так как по предположению большинства ученых все в мире основано по принципу золотого сечения.

Это число входит в тройку самых известных иррациональных чисел, т.е. таких чисел, десятичные представления которых бесконечны и не периодичны. Два других – это отношение длины окружности к диаметру (Пи) и основание натуральных логарифмов (е).

Золотое сечение можно встретить в повседневной жизни повсюду. Например, в древней Греции его использовали для возведения архитектурных сооружений, золотое сечение присутствует в строении человека, в искусстве, музыке и даже в строении галактики (рис.5.12).

Золотое сечение можно представить в виде отрезка, разделенного на два более мелких, таким образом, что длина одного (в данном случаи отрезка А) равнялась 0,382, а длина другого (отрезка В), была равна 0, 618. (рис.5.13)

Так, хаусдорфова размерность знаменитого канторового множества выражается в конечном виде числом: ln2/ln3 » 0,618.(рис.5.14).

Если мы рассмотрим отношение А к В, где А это меньшая длина отрезка по отношении к В (рис.5.13), то получим обычное квадратное уравнение:

x2 – x – 1 = 0

Данное выражение имеет два корня:

Обычно рассматривают только положительный корень xi, дающий простое и наглядное деление отрезка в заданной пропорции. Действительно, если принять целый отрезок за единицу, то, используя значение этого корня xi, получим а ~ 0,382, b ~ 0,618.?

Именно положительный корень х1 уравнения наиболее часто называют золотой пропорцией или пропорцией золотого сечения. Соответствующее геометрическое деление отрезка называют золотым сечением.

Это выражение представляет собой результат решения задачи о делении целого на две неравные части так, чтобы отношение меньшей части (А) к большей (В) равнялось бы отношению большей части к целому. Действительно, соответствующая данной задаче пропорция

удовлетворяется при выполнении условия:

Из определения золотого сечения (1) – (4) следует, что оно, в сущности, является двойственным объектом. Действительно, золотое сечение фактически порождается вышеупомянутой задачей о делении целого, которое представляет собой типичный пример двойственной системы, поскольку состоит из двух частей (А и В), которые, во-первых, не равны друг другу (так как А < В), во- вторых, неразрывно связаны друг с другом (как составные части целого и посредством соотношения (3)), в-третьих, взаимно дополняют друг друга (до целого, которое равно их сумме А + В) и, в-четвертых, определяют друг друга (благодаря выражению (4), позволяющему находить значение одной из величин А и В при известной другой).

В золотом сечении есть фигура, которая называется «Золотым прямоугольником» (рис.5.15). Она обладает многими необычными свойствами, которые уже знакомы нам, когда мы описывали свойства множества Мандельброта. Отрезав от "золотого" прямоугольника квадрат, сторона которого равна меньшей стороне прямоугольника, "в остатке" мы снова получим "золотой" прямоугольник меньших размеров. Продолжая отрезать квадраты, мы будем получать все меньшие и меньшие "золотые" прямоугольники. Причем, располагаться они будут по логарифмической спирали, имеющей большое значение в математических моделях природных объектов (например: в завихрениях торнадо, строении ракушки и даже галактики).

Полюс спирали лежит на пересечении диагоналей начального прямоугольника BD и первого отрезаемого вертикального АС. Причем диагонали всех последующих уменьшающихся "золотых" прямоугольников лежат на этих диагоналях.

Эта логарифмическая спираль является прототипом фундаментального фрактала. В любом масштабе он подобен самому себе и остается инвариантным при большинстве геометрических преобразований. На рис.5.15 (б) изображен элемент, из которого выстраивается «Золотой прямоугольник».

Существование золотых спиралей в юлианских циклах указывает на взаимосвязь между циклами, числом пять, золотым сечением и логарифмической спиралью. И если мы желаем глубоко проникнуть в суть циклов, то следует учитывать эти фундаментальные элементы и их соотношения. Циклы часто обладают внутренней структурой, которая заметно отличается от стандартного набора, включающего соединение, оппозицию и квадратуры.

Для нас сейчас важно понять, что спираль тесно связана с циклами и что данное свойство находит свое отображение во множестве Мандельброта (рис.5.16). Для более подробного изучения взаимосвязи между циклом и фракталом мы обратимся к главе «Определение цикла на валютном рынке», а сейчас давайте рассмотрим, как выражается золотое сечение в модели Мандельброта.

Данный вопрос очень хорошо описывают два российских ученых: Щипицын Е.В. и Попков В.В. В своем труде золотое сечение в теории фракталов они показали, как связано данное явление с множеством Мандельброта. В своем курсе я хочу привести отрывок текста из их труда «Двойственность золотого сечения в теории фракталов и хаоса», который содержит в себе достаточно интересную информацию.

На рис.5.17 изображено множество Мандельброта для квадратичной функции АО) = *2 +сна плоскости комплексных значений параметра с( c = Rec + jimc? где г = 4-Т- мнимая единица, а Rec и imc _ соответственно действительная и мнимая части числа ^). Односторонние стрелки с цифрами показывают периоды притягивающих орбит в различных областях множества Мандельброта. Двухсторонние стрелки обозначают характерные размеры множества Мандельброта, связанные с золотым сечением и числами Фибоначчи:

Здесь введены следующие обозначения:



Содержание Далее 


Для беспроблемного трейдинга рекомендую брокера Forex4you – здесь разрешен скальпинг, любые советники и стратегии; также можно иметь дело с Альпари; для инвесторов – однозначно Альпари с его множеством инвестиционных возможностей. – примеч. главного админа (актуально на 17.06.2018 г.).



Лучшие
брокеры:
        Альпари           Exness           Binomo
Кнопочка ТИЦ      Брокер «Альпари»      Брокер «Exness»      Брокер «Binomo»

Яндекс.Метрика